>[оверквотинг удален]
>  ;;
> esac
> }
> test_site
> catt=$(cat cc)
>         if [ "$res" !=
> "$catt" ]; then
>            
> notify
>         fi

Опять же, вы проверяете на 1 вместо count.
Вот мой вариант скрипта (из моего предыдущего по времени сообщения) с учетом "no network":

#!/bin/sh
# "ip" can be passed from crontab or be read from some config file
ip=8.8.8.8
count=1
prev_is_site_up=0
cur_is_site_up=0
var_file=/tmp/prev-is-site-up
write_var() {
        echo -n "$1" > $var_file
}
read_var() {
        cat $var_file
}
# Returns: 0 - site is down, 1 - site is up, 2 - no network
test_site() {
    res=$(ping -c ${count} ${ip} | tail -2 | head -1 | awk '{print $4}') \
        2> /dev/null
    case "$res" in
    "")
        return 2
        ;;
    "$count")
        return 1
        ;;
    *)
        return 0
    esac
}
notify() {
    case "$1" in
    0)
        msg="The website is down"
        ;;
    1)
        msg="The website is up"
        ;;
    2)
        msg="No network"
        ;;
    esac
    echo "$msg" | festival --tts
}
do_site_check() {
    test_site
    cur_is_site_up=$?
    if [ ! -e $var_file ]; then
        write_var $cur_is_site_up
        notify $cur_is_site_up
        exit 0
    fi
    prev_is_site_up=$(read_var)
    if [ $cur_is_site_up -ne $prev_is_site_up ]; then
        write_var $cur_is_site_up
        notify $cur_is_site_up
    fi
}
do_site_check

> И конкретный вопрос по башу. Можно ли сравнивать  сначала сроку, потом
> числа?
>  "$A" != "возмущено" -a "$cattt" -eq "1" ];

Да, можно.

> Можно ли сравнивать  сначала сроку, потом числа?
> [ "$A" != "возмущено" -a "$cattt" -eq "1" ];

Да, можно.

$ help test | grep AND
      EXPR1 -a EXPR2 True if both expr1 AND expr2 are true.

Не важно, строки вы сравниваете или числа, -- и то, и то -- выражения, так что всё ок.

Можно и так, как вы сделали (в контексте test), а можно средствами баша:

1. [ $x != "abc" -a $y -eq 2 ]
2. [ $x != "abc" ] && [ $y -eq 2 ]

Эти выражения делают одно и то же.

> может, проще добавить логическое "и" для проверки.
> Или это хуже?

Ну, если так сильно углубляться...

1. Я бы переделал этот кусок кода:

 if [ "$A" = "возмущено" -a "$cattt" -eq "0" ]; then
    echo "1" > $var_file
     notif 
 fi
 if [ "$A" != "возмущено" -a "$cattt" -eq "1" ]; then
    echo "0" > $var_file
     notif 
 fi

таким образом:

if [ "$A" = "возмущено" ]; then
    if [ $cattt -eq 0 ]; then
        echo 1 > $var_file
        notif
    fi
else
    if [ $cattt -eq 1 ]; then
        echo 0 > $var_file
        notif
    fi
fi

Лучше тем, что будет делаться меньше проверок. У вас будет выполняться 4 проверки, а у меня 2. Плюс я избавился от ненужных кавычек.

2. Еще вот этот кусок кода переделал бы:

if [ "$A" = "возмущено" ]; then 
    echo "Attention! Magnetic Storm" | festival --tts
       
 fi
  if [ "$A" != "возмущено" ]; then
   echo "There is no anymore" | festival --tts
  
 fi

на такой:

if [ "$A" = "возмущено" ]; then
    echo "Attention! Magnetic Storm" | festival --tts
else
    echo "There is no anymore" | festival --tts
fi

...или даже на такой:

if [ "$A" = "возмущено" ]; then
    msg="Attention! Magnetic Storm"
else
    msg="There is no anymore"
fi
echo $msg | festival --tts

> что означает flock?

flock -- блокировка с помощью файла. Такой себе аналог мьютекса. Используется, если вы подозреваете, что скрипт может быть выполнен одновременно из нескольких параллельных потоков (процессов), чтобы избежать race conditions.

Суть в том, что каждый раз при выполнении скрипта команда flock проверяет, существует ли lock-файл;
1. если не существует -- создается такой файл и выполняется код, защищенный этим локом
2. если существует -- команда flock будет ждать, пока lock-файл исчезнет (т.е. этот скрипт, выполняющийся в другом потоке, закончит выполнять защищенный локом код и удалит lock-файл), и потом продолжит выполнять код скрипта (защищенный flock). С помощью параметров также можно задать поведение: например, ждать с таймаутом, а потом завершать скрипт, либо просто сразу завершать скрипт.

Чтобы понять, как работает flock, можете проделать следующий эксперимент:
1. В одном терминале запустите команду

flock /tmp/123 -c 'while :; do sleep 1; done'

2. В другом терминале запустите команду

flock /tmp/123 -c 'echo 1'

- flock во втором терминале будет "висеть" и ждать, пока файл /tmp/123 удалится
- файл /tmp/123 удалится тогда, когда завершиться flock в первом терминале
- а в первом терминале под локом выполняется бесконечный цикл
3. Теперь нажмите Ctrl+C в первом терминале, чтобы завершить первый flock
4. Во втором терминале сразу же выполнится команда "echo 1".